5강. 확률 및 확률 분포 함수 (2)

1. 확률변수( Random variable )

• 표본공간의 각 원소에 실수값을 대응시켜 주는 함수
• 이산형 확률변수
  • 불량품의 수, 고속도로에서의 사고건수, 방문자수 등
• 연속형 확률변수
  • 전구의 수명, 몸무게, 체온, 통근시간 등

2. 확률변수 예제 1

• 동전을 두 번 던지는 실험
  • 𝑋 = “두 번 던질 때 나온 앞면의 수“
  • 𝑃(𝑋=2) = 𝑃({앞앞}) = 1 /4
  • 𝑃(𝑋=1) = 𝑃({앞뒤, 뒤앞})= 2 / 4 = 1 / 2
  • 𝑃(𝑋=0) = 𝑃({뒤뒤})= 1 / 4
  • 확률분포함수

    𝑋	0	1	2
    𝑃(𝑋=x)	1/4	1/2	1/4

  • 누적확률분포함수

    𝑋	0	1	2
    𝑃(𝑋≤x)	1/4	3/4	1

3. 이산형 확률분포의 성질

• 확률분포함수 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋=𝑥)에 대하여
  • 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1
  • 모든 𝑥의 값을 합치면 1이 된다.
  • 𝑝(a < 𝑥 ≤ b)는 𝑝(a) ~ 𝑝(b)까지의 합

4. 연속형 확률변수 사례

• 회사까지의 출근 소요 시간
  • 확률변수 𝑋 = “출근 소요 시간“

5. 연속형 확률변수의 확률분포함수

• 연속형 확률변수 𝑋에 대한 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏)
• 수학적 표현

6. 확률밀도함수𝑓(𝑥)의 성질

• 𝑓(𝑥)≥0
• 전범위에서의 확률밀도함수 값은 1

7. 확률변수 𝑋의 기댓값( 평균 )

• 확률변수 𝑋의 확률밀도함수를 𝑓(𝑥)라고 하면
  • 이산형
    • 𝐸(𝑋) = 𝜇 = Σ𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)
    • 𝐸(𝑔(𝑋)) = Σ𝑔(𝑥𝑖)𝑓(𝑥𝑖)
  • 연속형
    • 𝐸(𝑋) = 𝜇 = ∫∞-∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
    • 𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫∞-∞ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

8. 확률변수 𝑋의 분산

• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]
• 확률변수 𝑋의 확률밀도함수를 𝑓(𝑥)라고 하면
  • 이산형
    • Σi (xi − 𝜇)2 (𝑥𝑖)
  • 연속형
    • ∫∞-∞ (x − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
• 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) ∶ 표준편차

9. 새로운 확률변수 𝑎𝑋 + 𝑏

• 새로운 확률변수 𝑎𝑋 + 𝑏의 기댓값과 분산
  • 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏
  • 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2𝑉𝑎𝑟(𝑋)
    • 여기서, 𝑎와 𝑏는 임의의 상수

10. 표준화된 확률변수 ( Standardized Random Variable )

• 평균이 𝜇, 표준편차가 𝜎인 확률변수 𝑋에 대해서
  • 표준화된 확률변수 𝑍 = ( 𝑋 − 𝜇 ) / 𝜎
  • 확률변수 𝑍의 평균은 0, 분산은 1