6강. 확률분포와 표본분포 (1)

1. 이항분포 적용 사례

• 동전을 5번 던질 때 앞면의 수
• 공장에서 생산된 제품 100개를 검사할 때 발견되는 불량품의 수
• 유권자 50명 중 특정 후보를 지지하는 사람 수
• → 실험( 조사 )의 결과가 어떻게 될지 사전에 알 수 없지만, 모든 가능한 결과가 두 가지( {앞면, 뒷면}, {불량, 양호}, {찬성, 반대} 등 )이고 반복됨

2. 베르누이시행, 시행, 독립시행

• 베르누이시행
  • 각 실험의 결과가 두 가지만 가능한 시행
  • ex ) 앞면과 뒷면, 성공과 실패, 합격과 불합격 등
• 베르누이시행의 예
  • 제품 검사로 불량품과 양호품으로 구분하는 경우
  • 유권자에게 특정 후보에 대한 지지 여부를 묻는 경우
• 시행
  • 같은 실험을 반복할 때 각각의 실험
• 독립시행
  • 각 시행의 결과들이 서로 독립인 경우

3. 이항분포( Binomial distribution )

• 각 시행에서 성공률이 𝑝인 베르누이시행을 𝑛번 독립시행
• 𝑋 = "𝑛번의 베르누이 독립시행에서 얻은 총 성공 횟수＂
• 각 시행의 성공률 𝑝와 시행횟 수 𝑛에 따라 이항확률변수 𝑋 의 확률분포가 결정됨

4. 이항분포 사례

• 공정한 동전을 5번 던지는 실험
  • 𝑋 = 5번 던져서 나온 앞면의 수
  • 𝑛 = 5, 𝑝 = 1/2
  • 𝑋~𝐵( 5, 1/2 )
  • 𝑃(𝑋=0) = 1/32 ( 앞면의 수가 0일 확률 )
• 어느 보험회사의 영업사원이 한 고객을 만날 때 그 사람이 보험에 가입하게 될 확률은 경험으로 볼 때 20%이다. 오늘 이 영업사원이 고객 10명을 만날 예정이다.
  • 𝑛 = 10, 𝑝 = 0.2
  • 𝑋~𝐵( 10, 0.2 )
  • 세 명이 보험에 가입할 확률은?
    • 𝑃(𝑋=3) = dbinom(3, 10, 0.2)
  • 두 사람 이상이 보험에 가입할 확률은?
    • 𝑃(𝑋≥2) = 1 - 𝑃(𝑋<2) = 1 - 𝑃(𝑋≤1) =1 - pbinom(1, 10, 0.3)
  • 10명 중 보험에 가입한 사람의 평균과 분산은?
    • 𝐸(𝑋) = 10 * 0.2 , 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 10 * 0.2 * 0.8

5. 초기하분포

• 전체 𝑁개인 모집단이 ‘1’ 또는 ‘0’, ‘성공’ 또는 ‘실패＇ 등으로 두 가지로 분류
• 확률변수 𝑋 = "전체 𝑁개 중 1이 𝐷개, 0이 𝑁 − 𝐷개로 구성된 유한모집단에서 크기 𝑛인 랜덤표본을 뽑을 때 1이 나오는 수”

6. 초기하분포 예제

• 흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어있는 주머니에서 임의로 2개를 꺼냈을 때 𝑋를 검은 공의 개수인 확률변수로 정의하자. 𝑃(𝑋 =0)과 𝑃(𝑋 = 2)를 구하시오
  • 𝑛 = 2
  • 𝑃(𝑋 =0) = 3/10 = 0.3
  • 𝑃(𝑋 = 2) = 1/10 = 0.1

7. 초기하분포의 평균과 분산

• 확률변수 𝑋 = “전체 N개 중 1이 D개, 0이 N − D개로 구성된 유한 모집단에서 크기 n인 랜덤 표본을 뽑을 때 1이 나오는 수”
• 평균 : 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝, 단 𝑝 =𝐷/𝑁
• 분산 : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ∙ ( 𝑁−𝑛 / 𝑁−1 )

8. 포아송(Poisson )분포 적용 예

• 고속도로 상에서 하루동안 발생하는 교통사고에 의한 사망자 수
• 어느 집에 한 시간 동안에 걸려오는 전화통화 수
• 야구 경기 한 게임에서 나오는 홈런 수
• 1주일간 어떤 동사무소에서 접수되는 사망신고 수
• → 발생 확률이 아주 작은 희귀한 사건의 수에 대한 확률분포에 이용

9. 포아송분포를 적용하기 위한 가정

• 독립성
  • 서로 다른 단위에서 출현하는 횟수는 서로 독립
• 비집락성
  • 극히 작은 단위에서 둘 이상이 일어날 확률은 매우 작음
• 비례성
  • 단위 시간이나 공간에서 성공의 평균 출현 횟수는 일정함

10. 포아송분포(Poisson distribution)

• 단위당 평균 발생률이 𝑚인 어떤 현상에 대해서
  • 𝑋 = 단위당 발생횟수
  • 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑚)
  • 𝑃[𝑋 =𝑥] =𝑒−𝑚 𝑚𝑥 / 𝑥!, 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑒 = 2.718281 …
  • 𝐸(𝑋) = 𝑚, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑚

11. 포아송분포 사례

• 은행에서 하루 평균 6건의 불량수표를 받게 된다고 할 때, 어떤 특정한 날에 불량수표를 4번 받을 확률은?
  • 𝑋 = 하루 동안 받은 불량 수표 갯수
  • 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(6)
  • 𝑚 = 6, 𝑥=4
  • 𝑃(𝑋 =4) = dpoisson(4, 6) = 0.134

12. 확률밀도함수𝑓(𝑥)의 성질

• GPL( General Public License )
• 𝑓(𝑥) ≥ 0
• 𝑃(-∞<𝑋<∞) = 1
• 𝑃(𝑎<𝑋≤𝑏) = ∫𝑎𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

13. 정규분포( Normal distribution )

• 확률변수 X는 평균 μ, 표준편차 σ인 정규분포를 따른다
  • → 𝑋~𝑁 (𝜇, 𝜎2)
• 𝜇와 𝜎의 값에 의해서 정규분포 결정
  • 종 모양이고, 평균 𝜇에 관해 서로 대칭
  • 학자
    • 드 므와브르(A. de Moivre(1667-1754)), 가우스(C. F. Gauss(1777-1855))

14. 정규분포에서 확률 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

15. 정규분포의 표준화

• 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) 이면 𝑍 = (𝑋−𝜇) / 𝜎 ~𝑁(0, 1)
• 𝑋가 평균이 𝜇, 분산이 𝜎2인 정규분포를 따를 때
  • 표준 정규 분포표를 이용하여 다음과 같이 계산 할 수 있다.

16. 표준 정규분포

• 𝑃(-1.645≤𝑋≤1.645) = 0.9
• 𝑃(-1.96≤𝑋≤1.96) = 0.95
• 𝑃(-2.575≤𝑋≤2.575) = 0.99

17. 표준 정규분포표