7강. 확률분포와 표본분포 (2)

1. 기본 용어

• 통계적 추론( statistical inference )
  • 모집단에서 추출한 표본을 이용하여 모집단에 관한 추측이나 결론을 이끌어내는 과정
• 모수( parameter )
  • 모집단의 특성값
  • ex ) 평균, 비율, 분산 등
• 랜덤표본( random sample )
  • 모집단에서 랜덤하게 추출된 일부로 서로 독립이며 동일한 분포를 따름
• 표본추출변동
  • 통계량 값이 표본에 따라 달라지는 것
• 표본분포( 표집분포, sampling distribution )
  • 표본 통계량의 분포

2. 표본평균의 기댓값과 분산

• 평균이 μ이고, 분산이 σ²인 무한모집단에서 표본의 크기 n인 랜덤표본의 표본평균 X̄에 대하여
  • E(X̄) = μ
  • Var(X̄) = σ² / n

3. 표본평균의 분포( 정규 모집단의 경우 )

• 모집단의 분포가 정규분포 N(μ, σ²)일 때 표본 크기 n인 랜덤 표본의 표본평균 X̄는 정규분포 N( μ, σ²/n )을 따른다.

4. 중심극한정리( Central Limit Theorem )

• 평균이 𝜇이고, 분산이 σ²인 임의의 모집단에서 표본의 크기 𝑛이 충분히 크면, 정규분포로 간주하여 계산할 수 있다.
  • X̄ ~ N ( μ, σ²/n )
  • (X̄ - μ) / (σ/√n) ∼N(0,1)

5. 이항분포의 정규근사

• 이항분포 𝐵(𝑛, 𝑝)를 따르는 확률변수 𝑋는 𝑛이 클 때 근사적으로 정규분포 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1 − 𝑛𝑝 )를 따른다.
• (X - np) / √(np(1 - p)) ~ N(0, 1)

6. 𝑡 − 분포

• 𝑋1, … , 𝑋𝑛이 𝑁(𝜇, σ²)으로부터의 확률표본일 때 t = (X̄ - μ) / (S / √n) ~ t(n - 1)
• 여기서, S = √( (1/n) * Σ(Xᵢ - X̄)² )
• 0에 대해서 좌우대칭이며, 자유도 𝑛이 커지면 표준정규분포에 가까워짐
  • 통계학자 Gosset이 스튜던트( student )라는 필명으로 발표(1907년)
  • 스튜던트 t-분포( student’s t-distribution )

7. 모평균 𝜇의 100 1 − 𝛼 % 구간추정

• 모집단이 정규분포이고, σ²을 알 수 있는 경우
  • [ X̄ - z(α/2) * (σ/√n), X̄ + z(α/2) * (σ/√n) ]
• 모집단이 정규분포이고, σ²을 모르는 경우
  • [ X̄ - t(n-1, α/2) * (S/√n), X̄ + t(n-1, α/2) * (S/√n) ]

8. 모분산 추정(σ²)이 중요한 사례

• 어느 거리측정기 생산업체의 제품 정밀도 평가
  • 측정 거리의 편차가 크면 불량품으로 간주함
  • 측정 거리의 모분산이 중요함
• 어느 플라스틱판 생산 공장의 공정관리
  • 판 두께의 표준편차가 1.5mm보다 크면 공정 이상으로 판단

9. 모분산, 모표준편차의 점추정

• 모분산(σ²)의 점추정량
  • 표본분산 S² = (Σ (Xᵢ - X̄)²) / (n - 1)
• 모표준편차(σ)의 점추정
  • 표본표준편차 S = √(Σ (Xᵢ - X̄)² / (n - 1))

10. 표본분산의 분포

• 모분산 σ²인 정규분포에서 뽑은 랜덤표본일 때
  • (n-1) * S² / σ² ~ χ²(n-1)
  • 여기서, S² = Σ (Xᵢ - X̄)² / (n-1)
• 통계량 (n-1) * S² / σ² 은 여기서 자유도 n-1인 카이제곱분포( χ² distribution )를 따른다.

11. 카이제곱분표( 𝜒2 distribution )의 특징

• 자유도에 따라서 모양이 결정됨
• 비대칭분포

12. 𝐹 분포

• 표본분산 비의 분포
  • 두 모집단이 각각 모분산 σ₁², σ₂²인 정규분포를 따를 때, 이 두 모집단에서 독립적으로 추출한 크기 n₁, n₂인 표본에서 구한 표본분산을 각각 S₁², S₂²이라 하면
  • F = (S₁² / σ₁²) / (S₂² / σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)
• 분자자유도 n₁-1, 분모자유도 n₂-1인 F를 따른다.