11강. 가설검정 (2)

1. 모비율의 가설검정 - 귀무가설과 대립가설

• 귀무가설
  • 𝐻₀: p = p₀
• 대립가설
  • 단측 검정
    • 𝐻₁: p < p₀ ( 좌측 단측 검정 )
    • 𝐻₁: p > p₀ ( 우측 단측 검정 )
  • 양측 검정
    • 𝐻₁: p ≠ p₀ ( 양측 검정 )

2. 모비율의 가설검정 - 검정통계량

• Z = (p̂ - p₀) / √[p₀(1 - p₀) / n] ∼ N(0,1)
  • p̂ : 표본 비율 (sample proportion)
  • p₀ : 귀무가설 하의 모비율
  • n : 표본 크기
  • N(0,1) : 평균 0, 분산 1의 표준 정규분포

3. 모비율의 가설검정 - 검정방법

가설	기각역을 이용한 검정	유의확률을 이용한 검정
𝐻₀: p = p₀ 𝐻₁: p > p₀	Z > zₐ 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(Z > z_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각
𝐻₀: p = p₀ 𝐻₁: p < p₀	Z < –zₐ 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(Z < z_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각
𝐻₀: p = p₀ 𝐻₁: p ≠ p₀	|Z| > zₐ⁄₂ 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(|Z| > z_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각

4. 모분산의 가설검정 - 귀무가설과 대립가설

• 귀무가설
  • H₀: σ² = σ₀²
• 대립가설
  • 단측 검정
    • H₁: σ² < σ₀²  ( 좌측 단측 검정 )
    • H₁: σ² > σ₀²  ( 우측 단측 검정 )
  • 양측 검정
    • H₁: σ² ≠ σ₀²  ( 양측 검정 )

5. 모분산의 가설검정 - 검정통계량

• ((n - 1) * S²) / σ₀² ∼ χ²(n - 1)
  • 카이제곱을 따른다.

6. 모분산의 가설검정 - 검정방법

가설	기각역을 이용한 검정	유의확률을 이용한 검정
H₀: σ² = σ₀² H₁: σ² > σ₀²	(n - 1) * S² / σ₀² > χ²ₙ₋₁,α 이면 H₀를 기각	p값 = P(χ² > χ²_obs | H₀) p값이 α보다 작으면 H₀를 기각
H₀: σ² = σ₀² H₁: σ² < σ₀²	(n - 1) * S² / σ₀² < χ²ₙ₋₁,1-α 이면 H₀를 기각	p값 = P(χ² < χ²_obs | H₀) p값이 α보다 작으면 H₀를 기각
H₀: σ² = σ₀² H₁: σ² ≠ σ₀²	(n - 1) * S² / σ₀² > χ²ₙ₋₁,α/2 또는 (n - 1) * S² / σ₀² < χ²ₙ₋₁,1-α/2이면 H₀를 기각	p값 = P(χ² < χ²_obs 또는 χ² > χ²_obs | H₀) p값이 α보다 작으면 H₀를 기각

7. 채택역과 신뢰구간

• H₀: θ( 모수 ) = θ₀ 의 검정
• 채택역 : θ에 대한 100(1 - α)% 신뢰구간
  • P(X ∈ A(θ₀) | θ = θ₀) = 1 - α
• H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀
• 채택역 조건 : |T| < tₙ₋₁, α⁄2
  • μ의 100(1 - α)% 신뢰구간
    • [ X̄ - tₙ₋₁,α⁄2 × (S / √n), X̄ + tₙ₋₁,α⁄2 × (S / √n) ]

8. 신뢰구간과 기각

• H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀
• μ₀가 100(1 − α)% 신뢰구간( 채택역 )에 포함되지 않으면 H₀를 기각

9. 정리하기

• 표본수가 클 때 1개 모집단의 모비율에 대한 검정은 z 검정통계량을 이용한다.
• 1개 모집단의 모분산에 대한 검정은 χ² 검정통계량을 이용한다.
• 가설검정의 채택역과 신뢰구간은 같다.