10강. 가설검정 (1)

1. 불확실한 상황 속 의사결정

• 통계적 추론 : 추정과 검정
  • 가설검정
    • 불확실한 상황 속에서 의사결정
    • 모집단으로부터 추출한 데이터를 이용하여 모집단의 가설에 대해 체계적인 결론을 도출하는 것
      • A인지, 아닌지를 결론으로 도출

2. 귀무가설과 대립가설

• 통계적 가설( hypothesis testing )
  • 2개의 가설, 이 중 하나 가설 선택
    • 귀무가설( null hypothesis ) : 𝐻₀
      • 기존의 사실
    • 대립가설( alternative hypothesis ) : 𝐻₁ 또는 𝐻ₐ
      • 밝히고자 하는 사실
  • Randi의 통계적 실험, 재판과정과 통계적 가설검정
• 귀무가설 : 모수가 비교 값과 같다.
  • 𝐻₀ : μ = 12.0
  • 𝐻₀ : μₐ = μᵦ
• 대립가설 : 주장하고자 하는 가설
  • 𝐻₁: μ ≠ 12.0, 𝐻₁: μₐ ≠ μᵦ
  • 𝐻₁: μ > 12.0, 𝐻₁: μₐ > μᵦ

3. 가설의 선택방법

• 두 가설 중 선택 : 근거가 확실해지기 전까지 대립가설 선택 않고, 귀무가설 선택
  • 𝐻₁ 채택 ( 𝐻₀ 기각 )
    • 𝐻₁ 참이라는 근거 비교적 확실 → ‘유의성이 있다.’
  • 𝐻₀ 채택 ( 𝐻₀ 기각하지 못함 )
    • 𝐻₁ 참 근거 확실하지 않음

4. 가설검정의 오류

• 제1종의 오류와 제2종의 오류 

  		검정결과
  		𝐻₀ 기각하지 않음	𝐻₀ 기각
  실제	𝐻₀ 참	올바른 판단	제1종 오류
  	𝐻₁ 참	제2종 오류	올바른 판단

• 가설검정의 두 오류 간 상충관계
  • 𝐻₀ 참으로 두고, 근거 확실 않다면 𝐻₀ 기각하지 않음
  • 제1종의 오류 최대한계 정하고, 제2종 오류 줄이는 결정
    • 오류 최대한계는 오류를 허용할 수 있는 최대 퍼센트이다.

5. 유의수준과 검정력

• 유의수준( significance level, 𝛼 )과 검정력
  • 유의수준 : 제1종의 오류 최대한계
    • 5%, 1%, 10%
  • 검정력 : 틀린 𝐻₀ 기각해 𝐻₀의 잘못 찾아내는 확률

6. 통계적 가설검정의 개요

• 통계적 가설검정
  • 통계적 가설 : 𝐻₀, 𝐻₁
  • 검정통계량( test statistic ) 도출
  • 데이터를 검정통계량에 대입 → 검정통계량값
  • 검정통계량값을 𝐻₀ 하 검정통계량의 분포와 비교
    • 이때의 비교는 유의확률( p-value) 과 기각역을 활용
• 유의확률
  • 귀무가설이 참이라고 생각, 데이터로부터 구해진 검정통계량값보다 벗어날 확률
  • 유의확률 작다는 것
    • 귀무가설 참 → 매우 희귀한 사건 → 귀무가설 기각
  • 유의확률 크다는 것
    • 귀무가설 참이 아니라고 할 수 없음 → 귀무가설 기각 X
  • 유의확률 크기 정하는 기준
    • 유의수준을 기준으로 귀무가설 기각

7. 통계적 가설검정방법

• 검정통계량값 기각역 임곗값과 비교
  • 기각역 : 귀무가설을 기각하는 검정통계량값의 영역
  • 기각역의 임곗값 : 귀무가설 하의 검정통계량의 유의수준에 해당하는 값
• 가설검정 과정
  • 통계적 가설(𝐻₀, 𝐻₁)을 세움
  • 유의수준 α 정함
  • 𝐻₀ 하의 검정통계량( T )의 분포 정함( 찾음 )
  • 검정통계량값을 기각역의 임곗값 또는 검정통계량값으로 구한 유의확률과 유의수준 비교
  • 𝐻₀를 기각하거나 기각하지 못함

8. 모평균의 검정통계량

• 모표준편차(σ)를 알 때
  • Z = (X̄ - μ₀) / (σ / √n) ~ N(0, 1)
• 모표준편차(σ)를 모를 때
  • T = (X̄ - μ₀) / (S / √n) ~ tₙ₋₁

9. 모평균 가설검정의 대립가설

• 대립가설 : 단측 검정, 양측 검정
  • 단측 검정
    • H₁: μ < μ₀ ( 좌측 단측 검정 )
    • H₁: μ > μ₀ ( 우측 단측 검정 )
  • 양측 검정
    • H₁: μ ≠ μ₀ ( 양측 검정 )

10. 모평균의 가설검정

가설	기각역을 이용한 검정	유의확률을 이용한 검정
𝐻₀: μ = μ₀ 𝐻₁: μ > μ₀	T > tₙ₋₁, α 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(T > t_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각
𝐻₀: μ = μ₀ 𝐻₁: μ < μ₀	T < –tₙ₋₁, α 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(T < t_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각
𝐻₀: μ = μ₀ 𝐻₁: μ ≠ μ₀	|T| > tₙ₋₁, α⁄2 이면 𝐻₀를 기각	p값 = P(|T| > t_obs | 𝐻₀) → p값이 α보다 작으면 𝐻₀를 기각

11. 정리하기

• 가설검정은 모집단으로부터 추출한 데이터를 이용하여 모집단의 가설에 대해 체계적인 결론을 도출하는 것이다.
• 가설은 귀무가설과 대립가설로 구분된다.
• 유의확률은 검정통계량값으로 계산되는 제1종 오류인데, 그 값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각한다.
• 1개 모집단의 모평균에 대한 검정은 t검정통계량을 이용한다.