방송대/통계학계론

4강. 확률 및 확률분포함수 (1)

monimoni 2025. 3. 15. 21:51

1. 확률의 개념

  • 확률이란 ‘어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1사이의 실수로 표시’한 것
  • 확률이란 동일한 상태에서 동일한 시행을 무한 번 반복한다고 할 때 궁극적으로 전체 시행 중에서 특정 사건이 발생할 비율을 나타냄

2. 확률적 실험 ( 통계적 실험 )

  • 실험의 결과가 구체적으로 어떤 것인가는 알 수 없지만 전체 가능한 모든 결과들을 알고 있고 반복이 가능한 경우를 확률적( 통계적 )실험 이라고 함

3. 표본 공간, 사건

  • 표본공간( Sample Space )
    • 통계적 실험이나 조사에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 모임
    • 대개 𝑆로 표시
    • ex ) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
  • 사건( 또는 사상, Event )
    • 일어날 수 있는 모든 가능한 결과 중에서 특정한 성질을 갖는 결과의 모임
    • 대개 𝐴, 𝐵, 𝐶, … 등으로 표시

4. 확률실험의 예시

  • 동전을 한 번 던지는 실험
    • 원소 : 𝐻( = 앞면 ) 또는 𝑇( = 뒷면 )
    • 표본공간 : 𝑆 = { 𝐻, 𝑇 }
  • 주사위를 한 번 던지는 실험
    • 원소 : 1, 2, 3, 4, 5, 6
    • 표본공간 : 𝑆 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
    • 사상 : 실험의 결과 짝수 눈이 나오는 경우
      • 𝐴 = {2, 4, 6}
  • 생산품의 품질검사 하는 경우
    • 표본공간 : 𝑆 = { 정상품, 불량품 }
    • 한 개 제품을 검사할 때 불량품일 사건 : 𝐴 = {불량품}
  • 피자 배달의 예
    • 표본공간 : 𝑆 = { t ∶ t > 0 }
      • t > 0 으로 표기되어있는건 배달시간은 0 초과의 값으로 구성되어있기 때문
    • 배달시간이 20분 이내일 사건 : 𝐴 = { t ∶ 0 < t < 20 }

5. 확률의 고전적 정의

  • 표본공간 내 모든 원소의 발생 가능성이 같은 경우
  • 이산형 표본공간의 경우
    • P ( A ) = 사건 A에 속하는 원소의 개수 / 표본공간의 전체 원소의 개수
  • 연속형 표본공간의 경우
    • P ( A ) = 사건 A에 속하는 원소에 대한 측도 / 표본공간의 전체 원소에 대한 측도

6. 확률의 고전적 정의 예시

  • 주사위를 던지는 실험: 홀수가 나올 확률은?
    • 표본공간 : 𝑆 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
    • 홀수가 나올 사건, 𝐴 = { 1, 3, 5 }
    • P(A) = 3/6 = 1/2
  • 피자 배달시간의 예 : 배달시간이 20분에서 25분 사이일 확률은?
    • 표본공간 : 𝑆 = { (10, 30) } 배달 시간은 10분에서 30분까지 같은 가능성
    • 20분에서 25분 사이에 배달되는 사건 : 𝐵 = { (20,25) }
    • P(B) = 5/20 = 1/4

7. 확률의 상대도수적 정의

  • 사건 𝐴가 발생할 확률( 𝑃(𝐴)로 표시 )
    • 같은 조건하에서 통계적 실험을 수없이 많이 반복시행 하였을 때 사건 𝐴가 발생하는 비율( 즉, 상대도수 )

8. 확률의 공리적 정의

  • 확률을 상대도수의 극한개념으로 파악하기 위해 콜모고로프( Kolmogorov )는 확률을 다음과 같이 정의함
  • 확률의 공리적 정의
    • 표본공간 𝑆 에서 임의의 사건 𝐴에 대하여 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
    • 표본공간 𝑆 에서 표본공간 원소 값이 나타날 사건에 대하여 𝑃(𝑆) =1
    • 서로 배반인 사건 𝐴1, 𝐴2,⋯에 대하여 𝑃 (𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯) = 𝑃 (𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯를 만족할 때, 𝑃(𝐴)를 사건 𝐴의 확률이라고 한다.

9. 순열

  • 이산형 표본공간에서 확률 계산을 위해서 원소의 수를 세는 방법
  • 순열( Permutation )
    • 𝑛개의 사물 중 𝑟개를 선택하여 순서를 고려하여 나열하는 방법의 수
    • n! / ( n - r )!
    • ex ) 네 사람(A, B, C, D)을 나란히 있는 4개 의자에 배치하고자 한다.
      • 네 사람을 배치하는 전체 경우의 수?
        • n!
        • 4 * 3 * 2 * 1 = 24
      • A가 가장 왼쪽에 배치될 경우의 수?
        • 3 * 2 * 1 = 6

10. 조합

  • 이산형 표본공간에서 확률 계산을 위해서 원소의 수를 세는 방법
  • 조합( Combination )
    • 𝑛개의 사물 중 𝑟개를 순서를 고려하지 않고 추출하는 방법의 수
    • n! / r! ( n - r )!
    • ex ) 다섯 사람( A, B, C, D, E ) 중 두 명을 뽑아서 아침 청소를 하고자 한다.
      • 다섯 사람 중 두 명을 뽑는 전체 경우의 수?
        • 5 * 4 / 2 * 1 = 10
      • 이 중 A가 아침 청소를 하게 될 경우의 수?
        • 4 / 1 = 4

11. 확률의 덧셈법칙

  • 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
    • A의 확률과 B확률의 합은 A의 확률 + B의 확률 - A와 B가 동시에 나타날 확률
  • 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅인 경우는 사건 𝐴, 𝐵는 서로 배반사건일 경우

12. 확률 덧셈법칙 예시

  • 통계·데이터과학과 2학년 학생 40명 대상
    • 경제학 수강 학생 : 25명
    • 경영학 수강 학생 : 30명
    • 두 과목 동시수강 학생 : 20명
  • 통계·데이터과학과 2학년 학생 중 어느 사람이 경제학 또는 경영학을 수강할 확률은?
    • 경제학을 수강할 확률 : 25 / 40
    • 경영학을 수강할 확률 : 30 / 40
    • 두 과목 동시수강할 확률 : 20 / 40
    • 즉, 25 / 40 + 30 / 40 - 20 / 40 = 35 / 40

13. 조건부확률( Conditional Probability )

  • P(A|B) = P(A∩B) / P(B) ( 단, P(B) > 0 )
    • B가 발생했다는 조건하에서 A가 발생하는 확률

14. 조건부확률 예시

  • 어느 학과
    • 남자가 30명, 여자가 20명
    • 남자 중 10명, 여자 중 8명이 안경 착용
  • 한 명을 뽑았더니 여자였다. 이 학생이 안경을 쓴 학생일 확률은?
    • P(G|F) = P(G∩F) / P(F) = 8/50 / 20 / 50 = 2/5

15. 확률의 곱셈법칙

  • 𝑃 (𝐴) > 0, 𝑃 (𝐵) > 0이면, 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) 𝑃 (𝐵|𝐴) = 𝑃 (𝐵) 𝑃 (𝐴|𝐵)
  • 𝑃 (𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵) / 𝑃(𝐵) → 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐵) 𝑃 (𝐴|𝐵)

16. 독립사건( Independent Event )

  • 사건 A와 B : 서로 독립사건이라면
  • 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
  • 𝑃 (𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)

17. 여사건의 확률 계산

  • 𝐴𝑐를 사건 𝐴의 여사건이라고 할때
  • 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴)
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